Uvod u matematičko modeliranje i numeričku analizu s primjenama na fizikalne i inženjerske probleme

U nastavku se nalazi popis zanimljivih predavanja koja možete pronaći na internetu.

Funkcionalna analiza je onaj dio matematike koji fizičari zovu kvantna mehanika, a inženjeri obrada signala. Riječ je o proširenju metoda i tehnika Linearne algebre na beskonačnodimenzionalne vektorske prostore. Današnja istraživanja u području matematičkog modeliranja i numeričke analize (primijenjena matematika), što uključuje gorespomenutu kvantnu mehaniku i obradu signala, nemoguće je zamisliti bez poznavanja funkcionalne analize. Profesor Ole Christensen držao je Funkcionalnu analizu za inženjere s naglaskom na primjene u analizi i obradi signala (kolegij završava multirezolucijskom analizom i waveletima). Profesor Claudio Landim s IMPA instituta snimio je svoja predavanja iz Funkcionalne analize koja je držao po knjizi profesora Petera Laxa. Emanuel Carneiro, s ICTP-a, održao je predavanja iz Funkcionalne analize po poznatoj knjizi profesora Haima Brezisa. Dobar preduvjet za predavanja iz funkcionalne analize kod profesora Carneira su predavanja iz Mjere i integrala koja je snimio prof. Claudio Landim. Uvod u Mjeru i integral s naglaskom na Teoriju vjerojatnosti možete pronaći u snimljenim predavanjima sa Sukkur IBA Sveučilišta. Isti profesor održao je i kolegij Uvod u Funkcionalnu analizu s primjenama na parcijalne diferencijalne jednadžbe. Ove kolegije preporučujem svima koji se misle ozbiljnije baviti obradom signala, numeričkim rješavanjem fizikalnih problema, aproskimacijama i ostalim radostima koje povezuju matematiku i primjene. Profesor Giovanni Bellettini sa Sveučilišta u Sieni održao je kolegij koji povezuje Funkcionalnu analizu i teoriju parcijalnih diferencijalnih jednadžbi. Prvi dio kolegija posvećen je uvodu u teoriju PDJ-a, a drugi je uvod u Funkcionalnu analizu i primjene na PDJ.

 

Uvod u Metodu konačnih elemenata (Finite Element Method) s naglaskom na teoriju baziranu na funkcionalnoj analizi, održao je profesor David Ham u sklopu svojih predavanja za studente doktorskog studija na Imperial College of London. Implementacije u okviru Firedrake/FEniCS projekta nalaze se u sklopu kolegija Finite Element Tutorials. Primjene na Metodu rubnih elemenata (Boundary Element Method) skupljene su u seminaru koji je održao prof. Gunnar Martinson.

 

Primjene Linearne algebre i Funkcionalne analize na numeričke metode najbolje objašnjava profesor Gilbert Strang s MIT-a u sklopu svojih kolegija Linear Algebra i Matrix Methods in Data Analysis, Signal Processing, and Machine Learning. Primjene na numeričku matematiku obradio je u kolegijima Mathematical Methods for Engineers I i Mathematical Methods for Engineers II koji su poznati i pod nazivom Computational Science and Engineering I i II. Općeniti uvod u numeričku matematiku dala je profesorica Wen Shen sa sveučilipta Penn State u kolegiju Numerical Computation. Numerički solveri obrađeni su u kolegiju Solvers for Linear Systems of Equations. Profesor Jinchao Xu sa sveučilišta Penn State snimio je svoja predavanja o iterativnim metodama koja je održao na Stanfordu 2017. godine. Qiqi Wang s MIT-a ima nekoliko serija predavanja o numeričkim metodama iz kojih bih istaknuo predavanja o numeričkoj disipaciji i disperziji. Seminar Short Courses on High-Performance Linear System Solvers sadrži niz predavanja o različitim temama povezanim s rješavanjem linearnih sustava kao što su metoda konjugiranih gradijenata, Krylovljevi podprostori, Multigrid, prekondicioniranje bazirano na Schwarzovoj metodi i slično. Direktne metode za rješavanje sparse sustava prezentirao je Tim Davis u okviru kolegija Direct Methods for Sparse Linear Systems.

 

Fizičar Carl Bender održao je niz predavanja o asimptotskoj analizi i perturbacijama s primjenama u fizici. Riječ je o matematičkom aparatu koji je osnova bilo kojeg ozbiljnijeg modeliranja i rješavanja fizikalnih i inženjerskih problema. Dobar udžbenik za asimptotsku analizu je Applied Asymptotic Analysis profesora Petera D. Millera. Na internetu možete pronaći pdf skraćene verzije knjige po kojoj je prof. Miller predavao istoimeni kolegij na Sveučilištu u Michiganu. Dobri materijali koji povezuju asimptotsku analizu, homogenizaciju i primjene mogu se pronaći u sklopu predmeta Multiscale Hydrodynamic Phenomena. Kratka predavanja na temu različitih metoda i tehnika asimptotske analize održao je i Dr. Nitin Upadhyaya pod nazivom Basic Perturbation Theory. Profesor Abderrahmane Bendali održao je na ETH predavanja Asymptotic Methods for Wave Propagation Problems u kojima se bavio asimptotskim metodama s primjenama na valne probleme.

 

Ako ste zainteresirani za diferencijalnu geometriju i relativnost preporučam vam da pogledate predavanja profesora Frederic P. Schullera koja je držao na International Winter School on Gravity and Light. Paralelno s predavanjima postoje i auditorne vježbe na kojima se rješavaju primjeri spomenuti na predavanjima. Profesor Schuller održao je i kolegij Lectures on the Geometric Anatomy of Theoretical Physics koji sadrži prošireni uvod u geometriju i topologiju koja se koristi u modernoj teorijskoj fizici.

 

Kao uvod u fiziku preproučam predavanja prof. Waltera Lewina iz Klasične mehanike, Elektriciteta i magnetizma te Valova. Uvod u osnove fizikalne teorije dao je i profesor Leonard Susskind u sklopu projekta The Theoretical Minimum. Paul Anton Letnes držao je kolegij koji povezuje elektromagnetizam i primjene kojima se bavimo na Zavodu za radiokomunikacije. Odlična knjiga o elektromagnetskim pojavama. Kao nastavak na predavanja iz Funkcionalne analize preporučujem predavanja Lectures on Quantum Theory koja je držao profesor Frederic P. Schullera, a koja se jako naslanjaju na znanja usvojena na kolegijima Mjera i integral i Funkcionalna analiza. Dobra nadopuna Schullerovim predavanjima iz kvantne mehanike su predavanja Quantum Physics I, Quantum Physics II i Quantum Physics III koja su predavali Allan Adams i Barton Zwiebach s MIT-a.

Statistička fizika, veza između statističke fizike i termodinamike te veza između kvantne mehanike i statističke fizike dobro je obrađena u kolegijima profesora Mehrana Khardara s MIT-a, Statistical Mechanics I: Statistical Mechanics of Particles i Statistical Mechanics II: Statistical Physics of Fields te u predavanjima Introduction to Statistical Mechanics koja je držao profesor Yvan Velenik po svojoj knjizi Statistical Mechanics of Lattice Systems: A Concrete Mathematical Introduction. Primjene matematičkih metoda na biologiju obrađuju se u kolegiju Intro to Mathematical Modeling in Biology koji je držao profesor German A. Enciso.


Popularna predavanja iz matematike i fizike

Eugenia Chang je pijanistica i matematičarka koja se dosta bavi popularizacijom matematike i primjena u svemu oko nas. Bavi se teorijom kategorija što je područje na granici između matematike, računarstva i filozofije i glavna ideja te teorije je shvatiti funkcioniranje svijeta oko nas na vrlo apstraktnoj razini. Teorija kategorija ima vrlo konkretne primjene u bilo kakvoj kategorizaciji znanja, rješavanju problema i razumijevanju mišljenja. Ima i nekoliko dobrih knjiga o razumijevanju veze između matematike i filozofije (How to Bake Pi, The Art of Logic in an Illogical World). Njena dobra predavanja su:

 

Jordan Ellenberg je teorijski matematičar koji se bavi i matematičkim modeliranjem svijeta oko nas. Napisao je dvije odlične popularne knjige o matematici (How Not to be Wrong, Shape). Jedan dio njegovih predavanja:

 

Hannah Fry je matematičarka koja je svoja znanja iz fizike preselila na stvarni svijet pa se bavi razumijevanjem odnosa i kompleksnosti svijeta. Njena dobra predavanja su

 

Tadashi Tokieda je slikar, lingvist i matematičar. Bavi se primijenjenom matematikom, razumijevanjem igračaka, turbulencija i zašto je svijet takav kakav je u smislu veličina. Njegova predavanja su konkretnija i time zahtijevaju malo veće poznavanje matematike. Vrhunski je predavač i neka od njegovih dobrih predavanja su:


Što čitati u slobodno vrijeme?