a                                                                                                   b

Slika 1. Raspršenje elektromagnetskoga vala s heterogenim periodičkim materijalom (slika a) i njegovim pripadnim homogeniziranim materijalom (slika b). Jedinična ćelija heterogenog materijala velika je 0.2 valne duljine. Heterogeni materijal diskretiziran je s 375 995 elemenata i izračun raspršenja metodom konačnih elemenata traje 49.54 s na 4CPU’s, 2.2GHz I7 + 16GB RAM. Homogenizirani materijal diskretiziran je s 15 867 elemenata i izračun raspršenja metodom konačnih elemenata traje 1.27 s na 1CPU, 2.2GHz I7 + 8GB RAM.

Slika 2. Usporedba dalekog polja za raspršenje elektromagnetskoga vala na heterogenom periodičkom materijalu veličine jedinične ćelije od 0.2 valne duljine i raspršenja na pripadnom homogeniziranom materijalu. U izračunu dalekog polja korištena su rješenja sa Slike 1.

Opis kolegija

Višeskalni problemi su oni problemi u kojima se javljaju pojave na različitim vremenskim i prostornim skalama koje utječu na ukupno rješenje problema. Tipični primjeri višeskalih problema su modeliranje kompozitnih materijala, modeliranje ponašanja grupe ljudi, ponašanje gužve na autocesti, modeliranje zagrijavanja mikročipa koji se sastoji od milijuna tranzistora, slanje kratkotrajnog valnog paketa na velike udaljenosti ili prolazak valnog paketa kroz heterogeni medij, interakcija elektromagnetskih valova s metamaterijalima, i fotoničkim kristalima, kao i raspršenje valova na heterogenim materijalima i mnogi drugi slični problemi. Višeskalne probleme numerički je zahtjevno direktno simulirati pa posežemo za analitičkim tehnikama koje pojednostavljuju početni model (homogenizacija) ili za numeričkim metodama koje na poseban način koriste informaciju o višeskalnosti modela i tu višeskalnost ugrađuju direktno u numeričku metodu (VMS, HMM, MSFEM). Sve više se u modeliranju višeskalnih pojava koristi i duboko učenje.

U kolegiju ćemo obraditi višeskalne analitičke tehnike kao što su višeskalni razvoj, WKB, usrednjavanje i homogenizacija, Floquetova (Blochova) transformacija, skaliranje i samosličnost rješenja te višeskalne numeričke algoritme kao što su multigrid, Fast Multipole Method (FMM), Heterogeneous Multiscale Method (HMM), metode bazirane na rastavu domene (Domain Decomposition Method), rastav na hijerarhijsku bazu (wavelet) kao i primjene neuronskih mreža u simuliranju višeskalnih problema. Iz područja rekonstrukcije slike snimljene elektromagnetskim ili zvučnim valovima bavit ćemo se problemima raspršenja i rekonstrukcije slike. Nabrojanih tema ima mnogo i u kolegiju će se detaljno proučavati samo jedna od navedenih tema, a ta tema odabrat će se u dogovoru s upisanim studentima.

Kolegij Analiza, modeliranje i simuliranje višeskalnih pojava nudi se kao izborni predmet u zimskom semestru poslijediplomskoga studija, a nositelj predmeta je Dario Bojanjac. Više o načinu izvođenja i obavijestima iz tekućeg semestra možete pronaći na fakultetskoj stranici kolegija.
 

Snimljena predavanja u akademskoj godini 2022./2023.:

1. Linearni evolucijski problemi
2. Watsonova lema
3. Laplaceova metoda
4. Metoda stacionarne faze

Udžbenici

Homogenizacija i višeskalne metode:

• L. Berlyand, V. Rybalko, Getting Acquainted with Homogenization and Multiscale, Birkhauser 2018
• W. E, Principles of Multiscale Modeling, Cambridge University Press 2011
• G. Pavliotis, A. Stuart, Multiscale Methods: Averaging and Homogenization, Springer 2008

Modeliranje višeskalnih elektromagnetskih pojava:

• R. Carminati, J. C. Schotland, Principles of Scattering and Transport of Light, Cambridge University Press 2021
• H. Ammari et. al., Mathematical and Computational Methods in Photonics and Phononics, AMS 2018

• J. D. Joannopoulos, S. G. Johnson, J. N. Winn, R. D. Meade, Photonic Crystals: Molding the Flow of Light, Princeton University Press 2008

• K. Sakoda, Optical Properties of Photonic Crystals, Springer 2005

• K. Sakoda, Electromagnetic Metamaterials: Modern Insights into Macroscopic Electromagnetic Fields, Springer 2018

• P. Sheng, Introduction to Wave Scattering, Localization and Mesoscopic Phenomena, Springer 2006

Valni problemi i imaging:

• R. Carminati, J. C. Schotland, Principles of Scattering and Transport of Light, Cambridge University Press 2021
• L. Demanet, Waves and Imaging, MIT 2021
• H. Ammari, H. Kang, H. Lee, Layer Potential Techniques in Spectral Analysis, AMS 2009

Širenje impulsa u heterogenim materijalima:

• K. E. Oughstun, Electromagnetic and Optical Pulse Propagation 1: Spectral Representations in Temporally Dispersive Media, Springer 2019

• K. E. Oughstun, Electromagnetic and Optical Pulse Propagation 2: Temporal Pulse Dynamics in Dispersive Attenuative Media, Springer 2019

• H. M. Nussenzveig, Causality and Dispersion Relations, Academic Press 2012

• A. H. Zemanian, Realizability Theory for Continuous Linear Systems, Academic Press 2012

• K. E. Oughstun, G.C. Sherman, Electromagnetic Pulse Propagation in Casual Dielectrics, Springer 1994

Matematička teorija korisna u modeliranju višeskalnih pojava:

• T. Inui, Y. Tanabe, Y. Onodera, Group Theory and Its Applications in Physics, Springer 1990

• M. H. Holmes, Introduction to Perturbation Methods, Springer 2012

• P. D. Miller, Applied Asymptotic Analysis, AMS 2006

Znanstveni radovi

Spektralna analiza u periodičkim materijalima:

• P. Kuchment, An Overview of Periodic Elliptic Operators, Bulletin of the American Mathematical Society 53(3), 2016
• T. Muthukumar, Bloch-Floquet Transform, 2014

Višeskalne numeričke metode:

• A. Abdulle, E Weinan, B. Engquist, E. Vanden-Eijnden, The heterogeneous multiscale method, Acta Numerica , Volume 21, 2012
• Weinan E, B. Engquist, X. Li, W. Ren and E. Vanden-Eijnden, The Heterogeneous Multiscale Method: A Review, Communications in Computational Physics 2(3), 2007

Modeliranje heterogenih materijala:

• M. Cassiera, P. Joly, M. Kachanovska, Mathematical models for dispersive electromagnetic waves: An overview, Computers & Mathematics with Applications, Volume 74, Issue 11, 2017

Popularni i pregledni znanstveni radovi o višeskalnim pojavama:

• Weinan E and B. Engquist, Multiscale Modeling and Computation, Notices of the AMS, 50(9), 2003

Slični kolegiji u svijetu:

Introduction to multiscale modeling and simulation, KU Leuven

Multi-scale Methods in Mathematical Modelling, The University of Edinburgh

Multiscale Modelling, ETH Zurich

Multiscale Modelling and Simulation of Materials, Indiana University–Purdue University

Popularna predavanja o višeskalnim problemima i povezanosti višeskalnih problema i strojnog učenja:

Greg Offer, Multi-scale Modelling: Fast, Accurate Battery Simulations for Better Design and Control, 2020

A. Ahmed, C. Holmes, D. Vizoso, Multiscale Modelling video project, 2019

W. E, Machine Learning and PDEs, Harward CMSA Colloquium 2021

Altair Multiscale Designer Webinar: Taking Materials Modeling to New Levels, 2018

Michael Ortiz, Multiscale Modeling of Materials, DOE CSGF Conference 2012