Matematika 1 uvod je u matematičke teorije i metode koje ćete koristiti na višim godinama studija. Tu se po prvi puta susrećete s pojmom niza, limesa, derivacije i integrala (matematička analiza) te determinantama, matricama, operatorima i svojstvenim vrijednostima (linearna algebra). S dijelom tih pojmova možda ste se susreli u srednjoj školi, ali naša Matematika 1 predaje se kao da nikada prije niste čuli za niti jedan od navedenih pojmova.

Matematička analiza i linearna algebra osnova su modeliranja fizikalnih, ekonomskih, inženjerskih i manje više svih ostalih situacija i problema. Predmeti slični Matematici 1 predaju se u prvom semestru na svim inženjerskim fakultetima u svijetu. U vašem budućem školovanju Matematika 1 koristit će se u manje više svim primijenjenim kolegijima (Fizika I i II, Elektronika, Teorija informacije, Obrada slike, Strojno učenje, Automatizacija, Obrada zvuka, Krugovi, Polja, SIS, Antene, Optimizacija, Računalna grafika...). Razumijevanje Matematike 1 omogućit će vam bolje razumijevanje navedenih predmeta, ugodnije studiranje te brži i uspješniji završetak FER-a.

Što nam znanje Matematike 1 omogućuje?
Matematička analiza objedinjuje teorije i tehnike koje nam omogućuju proučavanje promjena. Naučeno u Matematici 1 omogućit će vam da modelirate razne sustave, promatrate njihovo ponašanje i predviđate što će se dogoditi s modeliranim sustavom u budućnosti. Osjećaj o promjeni duboko je usađen u vama iako nemate znanje Matematičke analize. Ako ste ikada prelazili cestu, sigurno ste promatrali aute oko sebe te ste na temelju procjene o njihovom kretanju donijeli odluku u kojem trenutku vam se isplati preći cestu (naravno, samo na mjestima na kojima nije bilo zebre i semafora jer biste inače završili s glavom u pijesku kao što je završila jedna starija gospođa u Osijeku).

Kako ste procijenili kretanje auta primjenom derivacije?
Promatrali ste položaj auta nekoliko sekundi i na temelju razlike u položaju i vremena koje je proteklo procijenili ste brzinu i vrijeme potrebno da auto dođe do vas. Iako to niste znali, računali ste derivaciju funkcije položaja auta. Promatranje promjena u matematici temelji se na promatraju trenutnih promjena. Apstraktno je to definirano kao nekakav limes u kojem vremenski intervali idu u nulu. Limes je apstraktna stvar koju nije moguće izračunati drugačije osim simbolički. Numerički (ili u praksi) stvar ćemo zaustaviti na nekom jako malom intervalu.  Promatranjem auta u dva vremenska intervala napravili ste nešto što se u numeričkoj matematici zove podijeljena razlika. Izračunali ste aproksimaciju derivacije funkcije položaja iako toga niste bili svjesni. Sve matematičke definicije, aksiomi i teoremi koje ćemo raditi imaju svoje uporište u prirodnim situacijama koje su vam potpuno razumljive. 

OK, derivacija još i služi nekoj svrsi, ali čemu integrali?
Na suprotnoj strani derivacija stoje integrali. Kako izračunati duljinu, površinu ili volumen nečega je pitanje kojim ste se bavili više puta. Svaki puta kada ste pokušali izračunati duljinu nečega koracima ili duljinom pedlja, integrirali ste luk krivulje na aproksimativan način. Osim što vam je intuitivno bilo jasno kako "integrirati" bilo vam je i jasno kako to izračunati praksi. Upravo tako ćemo računati integrale pomoću računala. Podijelit ćemo krivulju na puno malih dijelova, izračunati duljinu svakog dijela i to na kraju zbrojiti. Asptraktno gledajući, to će biti limes u kojem broj dijelova u podjeli ide u beskonačnost, a duljina svakog pojedinog dijela teži u nulu. Integrale ćemo koristiti u svim situacijama u kojima ćemo morati procijeniti koliko je nešto dugačko, teško i slično.

Osim toga?
Brzina i duljina su ovdje bili najjednostavniji primjeri, ali primjera ima jako puno. Promjena cijene dionica (zlatni gral svakog zdravomislećeg čovjeka), promjena populacije bakterija, projektiranje pojačala, procjena količine betona potrebnog za izradu luka iznad vrata, maksimalno opterećenje rakete prilikom polijetanja, aerodinamika vozila, izračun putanje do Marsa,...

Zašto učiti Matematiku 1?
1. Zato što je korisna za razumijevanje kemijskih, fizikalnih, bioloških, ekonomskih i društvenih procesa
2. Zato što bez nje ne možemo modelirati i predviđati ishode zanimljivih pojava
3. Zato što nam omogućuje uštede u dizajniranju novih proizvoda
4. Zato što na dubokoj razini opisuje povezanost realnog i apstraktnog svijeta
5. Zato što je ona preduvjet za Matematiku 2 koja je preduvjet za završetak preddiplomskog studija

U Matematičkoj analizi 2 bavimo se diferencijalnim i integralnim računom funkcija više varijabli i to na temeljima koje smo naučili u Matematičkoj analizi 1 i Linearnoj algebri. U zadnjem dijelu kolegija uvodimo obične diferencijalne jednadžbe (ODJ). U prvom semestru upoznali ste se s analizom funkcija jedne varijable (derivacije, integrali, limesi) s kojima ste mogli modelirati pojave ovisne o jednoj varijabli. To je ograničavajuće jer rijetko što ovisi samo o jednoj varijabli. Temperatura u prostoriji oko vas ovisi o 4 varijable. Tri su nam potrebne za opis položaja u prostoriji, a četvrta (vrijeme) nam je potrebna za preciziranje doba dana u kojem mjerimo temperaturu. Nakon što vam je poznata funkcija temperature zanimat će vas kako se ona mijenja, koje je najtoplije, a koje najhladnije mjesto u prostoriji, ukupna utrošena energija i slično. 

Auditorne vježbe iz Matematičke analize 2 u akademskoj godini 2019./2020. možete pratiti i na mom YouTube kanalu.

Prof. Gilbert Strang s MIT-a držao je kolegij Highlights of Calculus u kojem je, na srednjoškolskoj razini, objasnio zašto su nam potrebni limesi, derivacije i integrali. Navedeni kolegij preporučujem svima kao dobru motivaciju za učenjem naše Matematike 1.

Na američkim sveučilištima, prvi kolegij Matematičke analize obično se zove Calculus ili Single Variable Calculus. Pod tim imenom, na MIT-u se predaje kolegij sličan jednom dijelu Matematike 1. Ako imate problema s razumijevanjem nekih dijelova Matematike 1 (ponajprije, derivacija, integrala i primjena), a knjiga, asistent i profesor vam nisu dovoljni, slobodno bacite pogled na njihova predavanja. Kolegij Linearna algebra, puno veći i opširniji od dijelova linearne algebre koji se predaju u sklopu Matematike 1, isto možete pronaći na youtubeu. Prvih nekoliko predavanja olakšat će vam razumijevanje linearnih sustava, determinanti i matrica.

Oni koji žele znati više mogu pronaći odlične primjene Matematike 1 u sklopu kolegija Calculus Applied na edX-u. Predmet se može pratiti potpuno besplatno. Praćenje navedenog kolegija bit će vam lakše nakon što uspješno položite Matematiku 1, ali bacite pogled ako vas odmah zanimaju neke primjene. 

Koristan grafički kalkulator za predavanja iz matematike.