Matematičko modeliranje u inženjerstvu

S ciljem njegova boljeg razumijevanja i predviđanja budućih pojava, stvarni svijet opisujemo matematičkim modelima. Matematički model opis je nekog sustava ili pojave matematičkim jezikom, a proces razvoja matematičkog modela naziva se matematičko modeliranje. S obzirom na to da je stvarni svijet presložen da bismo njegove dijelove ili pojave modelirali u izvornom obliku, pri razvoju matematičkog modela odabiremo koja ćemo svojstva iz stvarnog svijeta uzeti u obzir, a koja ćemo zanemariti. Matematički model aproksimacija je stvarnog svijeta koja u pravilu ne opisuje posve precizno pojave iz stvarnog svijeta, ali kod dobrog modela ta će rješenja za svrhu u koju je model razvijen biti dovoljno bliska stvarnom svijetu. Osnova matematičkog modeliranja jest identificiranje uzročno-posljedičnih veza između ulaznih parametara i pojave koja se modelira. Korištenje matematičkog jezika pri zapisivanju odabranih uzročno-posljedičnih veza i pretpostavki na kojima se model zasniva stavlja nam na raspolaganje niz matematičkih teorija i tehnika te računalnih metoda za rješavanje problema. Cilj kolegija Matematičko modeliranje u inženjerstvu jest upoznati studente s osnovnim tehnikama matematičkog modeliranja kao što su dimenzijska analiza, primijenjena asimptotska analiza i metoda perturbacija te njihovom primjenom na konkretnim fizikalnim i inženjerskim problemima. U okviru kolegija studenti će naučiti odgovoriti na pitanja kao što su: kako se širi epidemija, zašto se u prometu zastoj giba unatrag, zašto nam se prolijeva kava dok hodamo sa šalicom u ruci, zašto leopard nema točkice na repu, kako se stvaraju solitoni, na koji način se širi informacija među ljudima, kako optimalno baciti loptu na slobodnom bacanju i mnoga druga. Nositelji predmeta su doc. dr. sc. Dario Bojanjac i doc. dr. sc. Mario Bukal.

 

Tjedni plan nastave:

  1. Uvod u matematičko modeliranje. Primjeri iz inženjerske prakse.
  2. Dimenzijska analiza, skaliranje i samoslična rješenja
  3. Uvod u sustave običnih diferencijalnih jednadžbi. Prostor stanja.
  4. Lotka–Volterrin sustav. Linearizacija sustava.
  5. Klasifikacija točaka ekvilibrija. Analiza dugoročnog rješenja. Proširenje modela.
  6. SIR model i modeliranje epidemije. Teorija perturbacija.
  7. Hodgkin–Huxleyev model, FitzHugh–Nagumov model i različite vremenske skale.
  8. Međuispit
  9. Uvod u zakone sačuvanja. Empirijski zakoni ponašanjaModeliranje prometa.
  10. Simuliranje problema prometa na računalu.
  11. Mikroskopski izvod difuzije. Fickov zakon.
  12. Jednadžbe reakcije i difuzije i modeliranje stvaranja uzoraka.
  13. Uvod u linearne i nelinearne valove
  14. Metoda stacionarne faze i primjene u modeliranju propagacije impulsa.
  15. Završni ispit

 

Literatura:

S. Howson: "Practical Applied Mathematics: Modelling, Analysis, Approximation", Cambridge University Press

R. Illner, C. S. Bohum, S. McCollum, T. van Roode: "Mathematical Modelling: A Case Studies Approach", AMS

Ellis CumberbatchAlistair Fitt: "Mathematical Modeling: Case Studies from Industry", Cambridge University Press

M. H. Holmes: "Introduction to Foundations of Applied Mathematics", Springer

G. I. Barenblatt: "Scaling", Cambridge University Press

 

Znanstveni radovi o modeliranju zanimljivih pojava:

Joseph B. Keller: "Ponytail Motion", SIAM J. APPL. MATH. 70, No. 7, pp. 2667–2672, video

C.J. Efthimiou, M.D. Johnson: "Domino Waves", SIAM Review, 2007, Vol. 49, No. 1 : pp. 111-120, video

H. C. Mayer and R. Krechetnikov: "Walking with coffee: Why does it spill?", Phys. Rev. E 85, 046117, 2012, video

Lyderic Bocquet: "The physics of stone skipping", American Journal of Physics 71, 150 (2003), video

M. E. Caplan: "Calculating the Potato Radius of Asteroids using the Height of Mt. Everest"

Irina Barzykina: "The physics of an optimal basketball free throw"

Herbert W. Hethcote: "The Mathematics of Infectious Diseases", SIAM Rev., 42(4), 599–653

Joseph M. Prusa: "Hydrodynamics of a Water Rocket", SIAM Rev., 42(4), 719–726, video

 

Slični kolegiji:

Mathematical modelling with PDE, The University of Warwick

Modellieren mit partiellen Differentialgleichungen, TU Wien

Methods of Applied Mathematics, Courant Institute of Mathematical Sciences

Perturbation Methods, University of Oxford

Zeitabhängige Probleme in Physik und Technik, TU Wien