S ciljem njegova boljeg razumijevanja i predviđanja budućih pojava, stvarni svijet opisujemo matematičkim modelima. Matematički model opis je nekog sustava ili pojave matematičkim jezikom, a proces razvoja matematičkog modela naziva se matematičko modeliranje. S obzirom na to da je stvarni svijet presložen da bismo njegove dijelove ili pojave modelirali u izvornom obliku, pri razvoju matematičkog modela odabiremo koja ćemo svojstva iz stvarnog svijeta uzeti u obzir, a koja ćemo zanemariti. Matematički model aproksimacija je stvarnog svijeta koja u pravilu ne opisuje posve precizno pojave iz stvarnog svijeta, ali kod dobrog modela ta će rješenja za svrhu u koju je model razvijen biti dovoljno bliska stvarnom svijetu. Osnova matematičkog modeliranja jest identificiranje uzročno-posljedičnih veza između ulaznih parametara i pojave koja se modelira. Korištenje matematičkog jezika pri zapisivanju odabranih uzročno-posljedičnih veza i pretpostavki na kojima se model zasniva stavlja nam na raspolaganje niz matematičkih teorija i tehnika te računalnih metoda za rješavanje problema. Cilj kolegija Matematičko modeliranje u inženjerstvu jest upoznati studente s osnovnim tehnikama matematičkog modeliranja kao što su dimenzijska analiza, primijenjena asimptotska analiza i metoda perturbacija te njihovom primjenom na konkretnim fizikalnim i inženjerskim problemima. U okviru kolegija studenti će naučiti odgovoriti na pitanja kao što su: kako se širi epidemija, zašto se u prometu zastoj giba unatrag, kako se impuls širi neuronima, zašto nam se prolijeva kava dok hodamo sa šalicom u ruci, zašto leopard nema točkice na repu, na koji način se širi informacija među ljudima, kako optimalno baciti loptu na slobodnom bacanju i mnoga druga.

Kolegij Matematičko modeliranje u inženjerstvu predaje se kao izborni kolegij u 5. semestru preddiplomskog studija, a nositelji su Dario Bojanjac i Mario Bukal. Na službenoj stranici kolegija možete pronaći sve detalje oko upisa i sve obavijesti oko izvođenja kolegija u tekućoj akademskoj godini. Predavanja se održavaju četvrtkom od 12 do 15 sati u dvorani A111.

Komentari studenata o korisnosti i izvođenju kolegija:

• Posebno mi se sviđa što se cijeli kolegij temelji na proučavanju i modeliranju stvarnih modela koje ćemo često viđati u praksi. Ovo je jedan od rijetkih predmeta koji se ne temelji na principu sjedi i štrebaj, već na čistom intuitivnom i logičkom razmisljanju. Odlično obavljen posao i svaka čast profesoru.
• Docent Bojanjac se iznimno trudi pribliziti studentima gradivo i rado ce ponoviti vise puta na razlicite nacine kako bi osigurao razumijevanje. Polaganje predmeta je prilagodeno interesima studenata kao i njihovim preferencijama prema nacinu ostvarivanja bodova. Profesor je iznimno vrijedan nastavnik i znanstvenik. Summa cum laude za profesora Bojanjca!
• Odlično objašnjavate. Objasnili ste mi i neke rupe u znanju nekih drugih predmeta koje nisam ni znala da imam. Imam osjećaj da mi je mozak narastao nakon svakog predavanja. Sviđa mi se opuštena atmosfera, pravo je osvježenje nakon nekih drugih kolegija/predavanja...
• Odnos prema studentima, ugodna atmosfera i nestvaranje stresa oko formalnog ocjenjivanja.
• Profesor je stvorio ugodnu radnu atmosferu gdje je svako pitanje dobrodošlo, vidi se da mu je glavna želja da studenti usvoje gradivo te da što bolje razumiju ono što radimo na satu, potiče način razmišljanja da je najbitnija stvar pokušati nešto, bez obzira ako prvih par puta ne uspiješ.
• Jako cijenim što nastavnik izlaganju nek nove ideje pristupa iz više različitih perspektiva. Mislim da to znatno ubrzava proces učenja. Nastavnik dobro bira te perspektive i tako omogućuje da što više studenata razumije gradivo s obzirom na to da da svaki od njih stvari shvaća na drukčiji nacin. Sviđa mi se njegov pristup objašnjavanju matematike: paralelno nam govori kako se neki problem rješava i obrazlaže dio matematičke pozadine. Mnoge stvari koje sam naucio na matematičkim kolegijima do sad su mi puno bolje sjele zbog ovakvog pristupa. Mislim da ovako nesto može produbiti razumijevanje nekih matematičkih koncepata.

Tjedni plan nastave s preporučenim čitanjima:

1. Uvod u matematičko modeliranje. Dimenzijska analiza i primjene.
   Eugenie Chiang, Hand-Waving as Performance Art
   Julian V. Noble, Dimensional analysis and scaling laws
   predavanje 2022./2023. Uvodno predavanje, video

   predavanje 2022./2023. Kratke prezentacije poznatih modela I, video
   predavanje 2022./2023. Kratke prezentacije poznatih modela II, video
   predavanje 2022./2023. Dimenzijska analiza, video

2. Proračun energije oslobođene u testu Trinity. Karakteristične veličine i analiza modela. 
   Ain A. Sonin, The Physical Basis of Dimensional Analysis, MIT 2001
   David Dureisseix, An introduction to dimensional analysis
   predavanje 2022./2023. Primjene dimenzijske analize u modeliranju, video

3. Lansiranje rakete u promjenjivom gravitacijskom polju. Metoda konačnih razlika (FDM). 
   A. Yew, Numerical differentiation: finite differences
   predavanje 2022./2023. Lansiranje rakete u promjenjivom gravitacijskom polju, video
    
4. Regularne i singularne perturbacije.
   Helen J. Wilson, Introduction to perturbation methods
   3Blue1Brown, Taylor Series, video
    
5. Modeliranje širenja epidemije (SIR model). Prostor stanja, točke ekvilibrijuma i linearizacija.
   David D. Nolte, The tangled tale of phase space
   Steven Strogatz, Loves Me, Loves Me Not (Do the Math)
   3Blue1Brown, Differential equations, a tourist's guide, video
   predavanje 2022./2023. Modeliranje širenja epidemije, video
    
6. Imunitet krda. Napredniji modeli širenja epidemije.
   3Blue1Brown, Simulating an Epidemics, video
   predavanje 2022./2023. Analiza složenijih modela širenja zaraznih bolesti, video
    
7. Model suprotstavljenih populacija (Lotka-Volterra).
   Yash, Lotka-Volterra: Modelling Nature
   A. L. Hodgkin, A. F. Huxley, A quantitative description of membrane current
   predavanje 2022./2023. Lotka-Volterrin model, video
    
8. Međuispit
    
9. Modeliranje kontinuuma. Zakon sačuvanja. Empirijski zakoni ponašanja. Difuzija i širenje topline.
   3Blue1Brown, But what is a partial differential equation?, video
   3Blue1Brown, Divergence and curl: The language of Maxwell's equations, fluid flow, and more, video
   Cognito, What is Diffusion? How Does it Work? What Factors Affect it?, video
   predavanje 2022./2023. Zakoni sačuvanja, video
    
10. Separacija varijabli. Fundamentalno rješenje i princip superpozicije.
    3Blue1Brown, Solving the heat equation, video
     
11. Metoda konačnih razlika za jednadžbu širenja topline. Jednadžbe reakcije i difuzije.
    Gerald W. Recktenwald, Finite-Difference Approximations to the Heat Equation
    A. M. Turing, The Chemical Basis of Morphogenesis
     
12. Matematički model u praksi: Proces izlijevanja i hlađenja tekućeg čelika.
    Metallurgy Data, Steel Making and Casting, video
    predavanje 2022./2023. Proces izlijevanja i hlađenja tekućeg čelika, video
     
13. Matematički model u praksi: Filtriranje vode procesom reverzne osmoze.
    Cognito, Osmosis, video
    SydneyWaterTV, How does reverse osmosis work?, video
    predavanje 2022./2023. Filtriranje vode procesom reverzne osmoze, video
     
14. Matematički model u praksi: Bušenje metala laserom velike snage.
    Interesting Engineering, Drilling Micro Holes, video
    predavanje 2022./2023. Bušenje aluminija laserom velike snage, video
     
15. Završni ispit

Službena literatura:

• D. J. Wollkind, B. J. Dichone, Comprehensive Applied Mathematical Modeling in the Natural and Engineering Sciences, Springer 2018
• D. F. Parker, Fields, Flows and Waves, Springer Science & Business Media 2012

Dodatna literatura:

Uvod u matematičko modeliranje:

• M. H. Holmes, Introduction to the Foundations of Applied Mathematics, Springer 2019

• C. Eck, H. Garcke, P. Knaber, Mathematical Modeling, Springer 2017

• T. Witelski, M. Bowen, Methods of Mathematical Modelling: Continuous Systems and Differential Equations, Springer 2015

• N. D. Fowkes, J. J. Mahony, An Introduction to Mathematical Modelling, John Wiley and Sons, 1994

• S. Howson, Practical Applied Mathematics: Modelling, Analysis, Approximation, Cambridge University Press 2005

Industrijski primjeri:

• G. L. Fulford, Industrial Mathematics: Case Studies in the Diffusion of Heat and Matter, Cambridge University Press 2001
• E. Cumberbatch, A. Fitt, Mathematical Modeling: Case Studies from Industry, Cambridge University Press 2001
• A. C. Fowler, Mathematical Models in the Applied Sciences, Cambridge University Press 1997

Dimenzijska analiza i back-of-the-envelope izračuni:

• Ain A. Sonin, The Physical Basis of Dimensional Analysis, MIT 2001
• D. S. Lemons, A Student's Guide to Dimensional Analysis, Cambridge University Press 2017

• A. Zee, Fly by Night Physics: How Physicists Use the Backs of Envelopes, Princeton University Press 2020

Asimptotska analiza:

• M. H. Holmes, Introduction to Perturbation Methods, Springer 2012
• C. M. Bender, S. A. Orszag, Advanced Mathematical Methods for Scientists and Engineers: Asymptotic Methods and Perturbation Theory, Springer 1999
• E. J. Hinch, Perturbation Methods, Cambridge University Press 1991

Popularna literatura iz područja matematičkog modeliranja:

K. Schmidt-Nielsen, Scaling: Why Is Animal Size So Important?, Cambridge University Press, 2008

J. Ellenberg, How Not to Be Wrong: The Power of Mathematical Thinking, Penguin Books 2015

G. West, Scale, The Universal Laws of Life and Death in Organisms, Cities and Companies, Penguin Books 2018

R. W. Hamming, The Art of Doing Science and Engineering: Learning to Learn, Stripe Press 2020

Znanstveni radovi o modeliranju zanimljivih pojava:

J. B. Keller, Ponytail Motion, SIAM J. APPL. MATH. 70, No. 7, pp. 2667–2672, video

C.J. Efthimiou, M.D. Johnson, Domino Waves, SIAM Review, 2007, Vol. 49, No. 1 : pp. 111-120, video

H. C. Mayer and R. Krechetnikov, Walking with coffee: Why does it spill?, Phys. Rev. E 85, 046117, 2012, video

L. Bocquet, The physics of stone skipping, American Journal of Physics 71, 150 (2003), video

M. E. Caplan, Calculating the Potato Radius of Asteroids using the Height of Mt. Everest

I. Barzykina, The physics of an optimal basketball free throw

H. W. Hethcote, The Mathematics of Infectious Diseases, SIAM Rev., 42(4), 599–653

J. M. Prusa, Hydrodynamics of a Water Rocket, SIAM Rev., 42(4), 719–726, video

A. Turing, The Chemical Basis of Morphogenesis, Phil. Trans. R. Soc. Lond. B 1952 237, 37-72

Slični kolegiji u svijetu:

Mathematical modelling with PDE, The University of Warwick

Modellieren mit partiellen Differentialgleichungen, TU Wien

Methods of Applied Mathematics, Courant Institute of Mathematical Sciences

Perturbation Methods, University of Oxford

Zeitabhängige Probleme in Physik und Technik, TU Wien

Order of Magnitude Estimation, University of California