PristupačnostS ciljem njegova boljeg razumijevanja i predviđanja budućih pojava, stvarni svijet opisujemo matematičkim modelima. Matematički model opis je nekog sustava ili pojave matematičkim jezikom, a proces razvoja matematičkog modela naziva se matematičko modeliranje. S obzirom na to da je stvarni svijet presložen da bismo njegove dijelove ili pojave modelirali u izvornom obliku, pri razvoju matematičkog modela odabiremo koja ćemo svojstva iz stvarnog svijeta uzeti u obzir, a koja ćemo zanemariti. Matematički model aproksimacija je stvarnog svijeta koja u pravilu ne opisuje posve precizno pojave iz stvarnog svijeta, ali kod dobrog modela ta će rješenja za svrhu u koju je model razvijen biti dovoljno bliska stvarnom svijetu. Osnova matematičkog modeliranja jest identificiranje uzročno-posljedičnih veza između ulaznih parametara i pojave koja se modelira. Korištenje matematičkog jezika pri zapisivanju odabranih uzročno-posljedičnih veza i pretpostavki na kojima se model zasniva stavlja nam na raspolaganje niz matematičkih teorija i tehnika te računalnih metoda za rješavanje problema. Cilj kolegija Matematičko modeliranje u inženjerstvu jest upoznati studente s osnovnim tehnikama matematičkog modeliranja kao što su dimenzijska analiza, primijenjena asimptotska analiza i metoda perturbacija te njihovom primjenom na konkretnim fizikalnim i inženjerskim problemima. U okviru kolegija studenti će naučiti odgovoriti na pitanja kao što su: kako se širi epidemija, zašto se u prometu zastoj giba unatrag, zašto nam se prolijeva kava dok hodamo sa šalicom u ruci, zašto leopard nema točkice na repu, kako se stvaraju solitoni, na koji način se širi informacija među ljudima, kako optimalno baciti loptu na slobodnom bacanju i mnoga druga. Nositelji predmeta su doc. dr. sc. Dario Bojanjac i doc. dr. sc. Mario Bukal.
Tjedni plan nastave:
- Uvod u matematičko modeliranje. Primjeri iz inženjerske prakse.
- Dimenzijska analiza, skaliranje i samoslična rješenja.
- Uvod u sustave običnih diferencijalnih jednadžbi. Prostor stanja.
- Lotka–Volterrin sustav. Linearizacija sustava.
- Klasifikacija točaka ekvilibrija. Analiza dugoročnog rješenja. Proširenje modela.
- SIR model i modeliranje epidemije. Teorija perturbacija.
- Hodgkin–Huxleyev model, FitzHugh–Nagumov model i različite vremenske skale.
- Međuispit
- Uvod u zakone sačuvanja. Empirijski zakoni ponašanja. Modeliranje prometa.
- Simuliranje problema prometa na računalu.
- Mikroskopski izvod difuzije. Fickov zakon.
- Jednadžbe reakcije i difuzije i modeliranje stvaranja uzoraka.
- Uvod u linearne i nelinearne valove.
- Metoda stacionarne faze i primjene u modeliranju propagacije impulsa.
- Završni ispit
Literatura:
S. Howson: "Practical Applied Mathematics: Modelling, Analysis, Approximation", Cambridge University Press
R. Illner, C. S. Bohum, S. McCollum, T. van Roode: "Mathematical Modelling: A Case Studies Approach", AMS
Ellis Cumberbatch, Alistair Fitt: "Mathematical Modeling: Case Studies from Industry", Cambridge University Press
M. H. Holmes: "Introduction to Foundations of Applied Mathematics", Springer
G. I. Barenblatt: "Scaling", Cambridge University Press
Znanstveni radovi o modeliranju zanimljivih pojava:
Joseph B. Keller: "Ponytail Motion", SIAM J. APPL. MATH. 70, No. 7, pp. 2667–2672, video
C.J. Efthimiou, M.D. Johnson: "Domino Waves", SIAM Review, 2007, Vol. 49, No. 1 : pp. 111-120, video
H. C. Mayer and R. Krechetnikov: "Walking with coffee: Why does it spill?", Phys. Rev. E 85, 046117, 2012, video
Lyderic Bocquet: "The physics of stone skipping", American Journal of Physics 71, 150 (2003), video
M. E. Caplan: "Calculating the Potato Radius of Asteroids using the Height of Mt. Everest"
Irina Barzykina: "The physics of an optimal basketball free throw"
Herbert W. Hethcote: "The Mathematics of Infectious Diseases", SIAM Rev., 42(4), 599–653
Joseph M. Prusa: "Hydrodynamics of a Water Rocket", SIAM Rev., 42(4), 719–726, video
Slični kolegiji:
Mathematical modelling with PDE, The University of Warwick
Modellieren mit partiellen Differentialgleichungen, TU Wien
Methods of Applied Mathematics, Courant Institute of Mathematical Sciences
Perturbation Methods, University of Oxford
