Kompleksnom broju \(z\ne0\) pridružujemo njegov argument, u oznaci \(\arg z\), koji je određen jednoznačno do na cjelobrojni višekratnik punog kuta \(2\pi\), mjerenog u radijanima.

Točnije, taj kut se definira kao kut \(\varphi\) koji zatvara pozitivan dio \(x\)-osi s radius-vektorom kompleksnog broja \(z\), povučenog iz ishodišta Gaussove ravnine.

Naravno, onda je i kut \(\varphi_1=\varphi+2\pi k\) također argument kompleksnog broja \(z\), za bilo koji odabrani cijeli broj \(k\).

Postavlja se pitanje je li onda argument \(\arg z\) jedan odabrani kut$$\arg z:=\varphi+2\pi k,$$ dobiven za bilo koji odabrani cijeli broj \(k\).

Ili argument kompleksnog broja \(z\ne0\) treba shvaćati kao skup$$\arg z:=\{\varphi+2\pi k:k\in\mathbb Z\}\,\,?$$

Pogledajmo jednu posljedicu ove zadnje definicije, u kojoj \(\arg z\) gledamo kao skup.

Prema Moivreovoj formuli vrijedi

$$\boxed{\,\,\arg(z^n)=n\cdot\arg (z),\,\,}$$ gdje je \(n\) bilo koji prirodan broj. Prema tome, onda bismo za \(n=3\) dobili

$$\require{color}\arg(z^3)=3\cdot\arg (z)=3\cdot\{\varphi+2\pi k:k\in\mathbb Z\}=\{3\varphi+{\color{red}{6\pi}} k:k\in\mathbb Z\}.$$

To je naravno nemoguće, jer bi prema skupovnom zapisivanju argumenta kompleksnog broja \(z^3\) moralo vrijediti$$\arg(z^3)=\{3\varphi+{\color{red}{2\pi}} k:k\in\mathbb Z\}.$$

Zaključak je da \(\arg z\) nije dobro shvaćati kao skup, jer inače dolazimo do kontradikcije.

To je ujedno i razlog zašto se u literaturi za skup svih mogućih argumenata kompleksnog broja \(z\ne0\) uvodi posebna oznaka: $$\operatorname{Arg}(z):=\{\varphi+2\pi k:k\in\mathbb Z\}.$$ Kao što smo upravo vidjeli, \(\operatorname{Arg}(z^3)\ne 3\cdot\operatorname{Arg}(z)\).