Tehnički opis problema i format rješenja

Tekst izazova

Graditelji drevnog Carstva Hypogea sagradili su podzemni hram "Yaana" u koji ne dopire Sunčeva svjetlost. Kao vrsni matematičari otkrili su metodu koja daje maksimalno osvjetljenje hrama korištenjem danog sustava kojeg čine svjetiljka kao izvor usmjerene zrake svjetlosti i konačno mnogo zrcala. Unutrašnjost hrama "Yaana" bila je osvijetljena takvim sustavom s osam zrcala. Koristeći suvremene matematičke metode i računalne resurse odredite položaje svjetiljke i svih osam zrcala koji daju najveću osvijetljenost hrama. 

 

Detaljniji opis problema

Geometrija hrama

Tlocrt hrama je u obliku kvadrata stranice duljine \(20\) metara. Vanjski i unutarnji zidovi hrama načinjeni su od kvadratnih kamenih blokova duljine stranice \(1\) metar. Tlocrt hrama definiran je u Julia evaluacijskoj skripti "cmc24.jl" u string varijabli "temple_string", gdje O označava položaj kamenog bloka, a . prazan prostor. Vidi niže string i odgovarajući tlocrt. Skripta "cmc24.jl" se nalazi u repozitoriju na stranici Upute za predaju.

temple_string =
#1  2  3  4  5  6  7  8  9  0  1  2  3  4  5  6  7  8  9  0
"O  O  O  O  O  O  O  O  O  O  O  O  O  O  O  O  O  O  O  O
 O  .  .  .  .  O  .  .  .  .  .  .  .  .  O  .  .  .  .  O
 O  .  .  .  .  .  .  .  O  .  .  O  .  .  .  .  .  .  .  O
 O  .  .  .  .  .  O  .  .  .  .  .  .  O  .  .  .  .  .  O
 O  .  .  O  .  .  .  .  .  O  O  .  .  .  .  .  O  .  .  O
 O  O  .  .  .  .  .  .  .  O  O  .  .  .  .  .  .  .  O  O
 O  .  .  .  O  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  O  .  .  .  O
 O  .  .  .  .  .  .  O  .  .  .  .  O  .  .  .  .  .  .  O
 O  .  .  .  .  .  .  .  .  O  O  .  .  .  .  .  .  .  .  O
 O  .  O  .  .  O  O  .  .  .  .  .  .  O  O  .  .  O  .  O
 O  .  O  .  .  O  O  .  .  .  .  .  .  O  O  .  .  O  .  O
 O  .  .  .  .  .  .  .  .  O  O  .  .  .  .  .  .  .  .  O
 O  .  .  .  .  .  .  O  .  .  .  .  O  .  .  .  .  .  .  O
 O  .  .  .  O  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  O  .  .  .  O
 O  O  .  .  .  .  .  .  .  O  O  .  .  .  .  .  .  .  O  O
 O  .  .  O  .  .  .  .  .  O  O  .  .  .  .  .  O  .  .  O
 O  .  .  .  .  .  O  .  .  .  .  .  .  O  .  .  .  .  .  O
 O  .  .  .  .  .  .  .  O  .  .  O  .  .  .  .  .  .  .  O
 O  .  .  .  .  O  .  .  .  .  .  .  .  .  O  .  .  .  .  O
 O  O  O  O  O  O  O  O  O  O  O  O  O  O  O  O  O  O  O  O"

Sustav osvjetljenja    

Sustav za osvjetljenje hrama čine: jedna svjetiljka s usmjerenim izvorom svjetlosti i osam zrcala koja reflektiraju zraku svjetlosti hramom. Hram je osvijetljen tako da se svjetlost širi radijalno od svake točke na zraki i tako osvjetljava slobodni prostor radijusa jednog metra.

Sustav osvjetljenja jednoznačno je određen položajem svjetiljke i položajima zrcala unutar hrama. Sva zrcala su duljine \(50\) cm i obostrano reflektirajuća.

Položaj svjetiljke jednoznačno je određen parom \((x_s,y_s)\) floating point brojeva iz intervala \([0, 20]\), koji označavaju poziciju unutar hrama, te kutom \(\theta_s\) u radijanima, koji zraka svjetlosti zatvara s pozitivnim dijelom osi ordinate u standardnom označavanju Kartezijevog koordinatnog sustava.

Za zraku svjetlosti vrijede sljedeća pravila refleksije:

  • na zrcalu, uključujući rubove, zraka se reflektira po fizikalnom zakonu koji kaže da je upadni kut zrake svjetlosti jednak reflektiranom kutu;
  • ako zraka udara u zrcalo koje je njoj paralelno, ne dolazi do refleksije, nego je zraka apsorbirana;
  • na zidu, uključujući uglove, ne dolazi do refleksije, odnosno zraka je apsorbirana na tom mjestu. Tlocrtno su zidovi hrama stranice, a uglovi vrhovi pravokutnika.

Položaj zrcala jednoznačno je određen koordinatama središta te kutom zakreta zrcala od pozitivnog dijela osi ordinate. Koordinate središta su floating point brojevi \( (x_c,y_c)\in [0, 20]\times [0, 20] \), a kut zakreta je floating point broj \( \theta_z \) u radijanima. Zrcala se ne smiju međusobno dodirivati niti smiju dirati zid hrama.

Zadatak je odrediti položaje svjetiljke i zrcala tako da zraka svjetlosti osvijetli što veći dio površine hrama.

Primjer jednog osvjetljenja hrama dan je na donjoj slici.

Format rješenja

Sustav osvjetljenja opisan je matricom floating point brojeva reda \(9\times 3\). Prvi redak redom opisuje koordinate i kut zakreta svjetiljke, dok ostalih 8 redaka opisuju koordinate središta i kut zakreta zrcala.

Rješenje se validira i predaje u sustavu za automatsku provjeru znanja Edgar.  Rješenje treba unijeti u obliku Julia literala za matricu dimenzija 9x3 s numeričkim elementima i pridružiti je varijabli "cmc24_solution.” Niže je primjer rješenja koji odgovara osvjetljenju na gornjoj slici.

cmc24_solution = [
    5 5 0.26;
    11.5 6.5 0.9;
    11.9 16.5 0.95;
    15.2 17.6 2.45;
    13.8 12.0 0.92;
    1.6 6.2 2.53;
    2.2 14.7 0.7;
    8.5 14.2 2.325;
    8.7 3.05 2.525;
]

Detaljnije upute o predaji rješenja nalaze se na stranici Upute za predaju.