Numeričke metode za diferencijalne jednadžbe

Opis predmeta

Numeričko rješavanje početnih zadaća: Eulerove metode i općenite jednokoračne metode, Runge-Kutta i druge višekoračne metode, analiza stabilnosti pojedinih metoda. Numeričko rješavanje rubnih zadaća metodom konačnih diferencija: primjena na ravnotežni štap i ocjena pogreške metode. Metoda konačnih diferencija za eliptičke rubne zadaće: Laplaceova jednadžba u 2D i primjene. Crank-Nicolsonova metoda za numeričko rješavanje paraboličkih jednadžbi: primjena na jednadžbu provođenja topline. Metoda konačnih diferencija za transportne jednadžbe: CFL uvjet, stabilnost, upwind sheme i primjena na modele toka prometa. Prostori konačnih elemenata, greška interpolacije, Galjorkinova metoda. Numeričko rješavanje eliptičkih jednadžbi metodom konačnih elemenata: Helmholtzova jednadžba i primjene. Numeričko rješavanje paraboličkih jednadžbi kombinacijom metode konačnih elemenata i konačnih diferencija: primjena na modele za obradbu slika. Numeričke simulacije Navier-Stokesovih, Maxwellovih i Eulerovih jednadžbi korištenjem naprednijih metoda konačnih elemenata poput diskontinuirane Galjorkinove metode.

Ishodi učenja

  1. diskretizirati obične diferencijalne jednadžbe s početnim uvjetom koristeći metodu konačnih diferencija odgovarajuće točnosti
  2. diskretizirati obične diferencijalne jednadžbe s rubnim uvjetima metodom konačnih diferencija i metodom konačnih elemenata
  3. diskretizirati eliptičku parcijalnu diferencijalnu jednadžbu metodom konačnih diferencija i metodom konačnih elemenata
  4. diskretizirati transportne jednadžbe odgovarajućim metodama
  5. implementirati numeričke sheme na računalu korištenjem prikladnog softwarea i numerički ih računati
  6. odlučiti o prikladnosti numeričke sheme za pojedini tip problema te analizirati stabilnost i konvergenciju odabrane metode
  7. provoditi simulacijske testove i interpretirati opažanja
  8. razlikovati numeričke artefakte neprikladnih numeričkih shema od fizikalnih fenomena u promatranom sustavu

Oblici nastave

Predavanja

Predavanja se održavaju jednom tjedno u trajanju od 3 sata. Na njima se izlaže teorijska osnova numeričkih metoda za diferencijalne jednadžbe.

Auditorne vježbe

Auditorne vježbe održavaju se jednom tjedno u trajanju od sat vremena. Kroz konkretne zadatke usvaja se i produbljuje razumijevanje teorijskih koncepata s predavanja.

Samostalni zadaci

Studenti dobivaju domaće zadaće sa zadacima za samostalno rješavanje. Bodovi s domaćih zadaća čine 40% od ukupnog broja bodova.

Laboratorij

Laboratorijske vježbe održavaju se kroz 10 tjedana nastave (po jedan sat) i u tim tjednima zajedno s auditornim vježbama. Na laboratorijskim vježbama naglasak je na implementaciji numeričkih metoda i služe kao priprema za samostalno rješavanje domaćih zadaća.

Način ocjenjivanja

Kontinuirana nastava Ispitni rok
Vrsta provjere Prag Udio u ocjeni Prag Udio u ocjeni
Domaće zadaće 0 % 40 % 0 % 40 %
2. Međuispit: Pismeni 0 % 30 % 0 %
Završni ispit: Pismeni 0 % 30 %
Ispit: Pismeni 0 % 60 %

Tjedni plan nastave

  1. Uvodno predavanje: motivacijski primjeri. Aproksimacija derivacija konačnim diferencijama: izvod formula, greška aproksimacije.
  2. Jednokoračne metode za početne zadaće: stabilnost, ocjena pogreške, konvergencija.
  3. Višekoračne metode za početne zadaće: stabilnost, ocjena pogreške, konvergencija.
  4. Kruti sustavi.
  5. Metode konačnih diferencija za eliptičke jednadžbe: Poissonova jednadžba. Iterativne metode. Multigrid metoda.
  6. Metode konačnih diferencija za paraboličke jednadžbe: jednadžba provođenja topline. Crank-Nicolsonova metoda.
  7. Metode konačnih diferencija za transportne jednadžbe: upwind shema. CFL uvjet.
  8. Međuispit
  9. Elementi funkcionalne analize: prostori Soboljeva i slaba formulacija.
  10. Galjorkinova metoda konačnih elemenata za eliptičke jednadžbe. Helmholtzova jednadžba.
  11. Metoda konačnih elemenata za jednadžbe reakcije - difuzije. Petrov-Galjorkinova metoda.
  12. Simulacije toka fluida. Navier-Stokesove jednadžbe.
  13. Simulacije toka prometa. Diskontinuirana Galjorkinova metoda konačnih elemenata.
  14. Maxwellove jednadžbe. Metoda rubnih konačnih elemenata.
  15. Završni ispit

Studijski programi

Sveučilišni diplomski
Audiotehnologije i elektroakustika (profil)
Slobodni izborni predmeti (2. semestar)
Automatika i robotika (profil)
Slobodni izborni predmeti (2. semestar)
Elektroenergetika (profil)
Slobodni izborni predmeti (2. semestar)
Elektroničko i računalno inženjerstvo (profil)
Slobodni izborni predmeti (2. semestar)
Elektronika (profil)
Slobodni izborni predmeti (2. semestar)
Elektrostrojarstvo i automatizacija (profil)
Slobodni izborni predmeti (2. semestar)
Informacijsko i komunikacijsko inženjerstvo (profil)
Slobodni izborni predmeti (2. semestar)
Komunikacijske i svemirske tehnologije (profil)
Slobodni izborni predmeti (2. semestar)
Programsko inženjerstvo i informacijski sustavi (profil)
Slobodni izborni predmeti (2. semestar)
Računalno inženjerstvo (profil)
Slobodni izborni predmeti (2. semestar)
Računalno modeliranje u inženjerstvu (profil)
(2. semestar)
Računarska znanost (profil)
Slobodni izborni predmeti (2. semestar)
Znanost o mrežama (profil)
Slobodni izborni predmeti (2. semestar)
Znanost o podacima (profil)
Slobodni izborni predmeti (2. semestar)

Literatura

Randall J. LeVeque (2007.), Finite Difference Methods for Ordinary and Partial Differential Equations, SIAM
Alfio Quarteroni (2017.), Numerical Models for Differential Problems, Springer
Alfio Quarteroni, Alberto Valli (2009.), Numerical Approximation of Partial Differential Equations, Springer Science & Business Media
Thomas Rylander, Pär Ingelström, Anders Bondeson (2012.), Computational Electromagnetics, Springer Science & Business Media

Za studente

Izvedba

ID 222537
  Ljetni semestar
5 ECTS
R3 Engleski jezik
R1 E-učenje
45 Predavanja
15 Auditorne vježbe
10 Laboratorijske vježbe

Ocjenjivanje

85 izvrstan
70 vrlo dobar
55 dobar
45 dovoljan