Matematičko modeliranje u inženjerstvu

Opis predmeta

S ciljem njegova boljeg razumijevanja i predviđanja budućih pojava, stvarni svijet opisujemo matematičkim modelima. Matematički model opis je nekog sustava ili pojave matematičkim jezikom, a proces razvoja matematičkog modela naziva se matematičko modeliranje. S obzirom na to da je stvarni svijet presložen da bismo njegove dijelove ili pojave modelirali u izvornom obliku, pri razvoju matematičkog modela odabiremo koja ćemo svojstva iz stvarnog svijeta uzeti u obzir, a koja ćemo zanemariti. Matematički model aproksimacija je stvarnog svijeta koja u pravilu ne opisuje posve precizno pojave iz stvarnog svijeta, ali kod dobrog modela ta će rješenja za svrhu u koju je model razvijen biti dovoljno bliska stvarnom svijetu. Osnova matematičkog modeliranja jest identificiranje uzročno-posljedičnih veza između ulaznih parametara i pojave koja se modelira. Korištenje matematičkog jezika pri zapisivanju odabranih uzročno-posljedičnih veza i pretpostavki na kojima se model zasniva stavlja nam na raspolaganje niz matematičkih teorija i tehnika te računalnih metoda za rješavanje problema. Cilj kolegija Matematičko modeliranje u inženjerstvu jest upoznati studente s osnovnim tehnikama matematičkog modeliranja kao što su dimenzijska analiza, primijenjena asimptotska analiza i metoda perturbacija te njihovom primjenom na konkretnim fizikalnim i inženjerskim problemima. U okviru kolegija studenti će naučiti odgovoriti na pitanja kao što su: kako se širi epidemija, zašto se u prometu zastoj giba unatrag, zašto nam se prolijeva kava dok hodamo sa šalicom u ruci, zašto leopard nema točkice na repu, kako se stvaraju solitoni, na koji način se širi informacija među ljudima, kako optimalno baciti loptu na slobodnom bacanju i mnoga druga.

Oblici nastave

Predavanja

Održavaju se 3 sata predavanja tjedno na kojima se "case study" pristupom obrađuju principi matematičkog modeliranja.

Samostalni zadaci

Svaki student moći će odabrati želi li do maksimalno 40% bodova doći rješavanjem domaćih zadaća ili preko rada na samostalnom zadatku projektnog ili seminarskog tipa.

Način ocjenjivanja

Kontinuirana nastava Ispitni rok
Vrsta provjere Prag Udio u ocjeni Prag Udio u ocjeni
Domaće zadaće 0 % 40 % 0 % 0 %
Sudjelovanje u nastavi 0 % 10 % 0 % 0 %
Seminar/Projekt 0 % 40 % 0 % 40 %
Međuispit: Pismeni 0 % 30 % 0 %
Završni ispit: Pismeni 0 % 30 %
Završni ispit: Usmeni 10 %
Ispit: Pismeni 0 % 60 %
Ispit: Usmeni 40 %
Napomena / komentar

Ukupno do 60 % bodova moguće je ostvariti kroz međuispit i završni ispit (kontinuirana nastava) ili kroz pismeni ispit (ispitni rokovi). Preostalih do 40 % bodova moguće je ostvariti kroz sljedeće aktivnosti (moguće je odabrati jednu ili više od ponuđenih aktivnosti, ali ukupno se kroz njih ne može ostvariti više od ukupno 40 % bodova): 1. domaće zadaće (do 40 % bodova) - odnosi se samo na mogućnost polaganja predmeta kroz kontinuiranu nastavu, 2. projekt (do 40 % bodova), 3. seminar (do 40 % bodova). Na domaćim zadaćama rješavat će se zadaci koji produbljuju znanje naučeno na predavanjima, a domaće zadaće služit će ujedno i kao priprema za međuispit i završni ispit. Kroz projekt je moguće analizirati i simulirati neki od matematičkih modela iz inženjerske prakse, dok se kroz seminar može analizirati neki od odabranih znanstvenih radova iz područja matematičkog modeliranja. Posebno aktivni studenti na nastavi mogu ostvariti dodatnih do 10 % bodova kroz komponentu Sudjelovanje u nastavi. Također, studenti koji žele popraviti ocjenu koja proizlazi iz bodova prikupljenih na prethodno opisane načine u kontinuiranoj nastavi, imaju priliku to ostvariti kroz opcionalni usmeni ispit na kojem mogu sakupiti do 10 % bodova. U sklopu ispitnih rokova usmeni ispit (nosi do 40 % bodova) može biti klasičan usmeni ispit ili prezentacija seminara ili projekta.

Tjedni plan nastave

  1. Uvod u matematičko modeliranje. Dimenzijska analiza. Proračun oslobođene energije u testu Trinity.
  2. Teorija perturbacija i metoda balansa. Primjena na model harmoničkog oscilatora.
  3. Sustavi običnih diferencijalnih jednadžbi, prostor stanja, točke ekvilibrijuma i linearizacija.
  4. Modeliranje širenja epidemije. Analiza osnovnog SIR modela.
  5. Imunitet krda. Napredniji modeli širenja epidemije.
  6. Modeli suprotstavljenih populacija. Analiza Lotka-Volterrinog modela.
  7. Hodgkin–Huxleyev i FitzHugh–Nagumov model.
  8. Međuispit
  9. Einsteinovo objašnjenje Brownovog gibanja. Fokker-Planckova jednadžba.
  10. Modeliranje kontinuuma. Polje i potencijal. Gaussov zakon.
  11. Izvod zakona sačuvanja. Empirijski zakoni ponašanja. Modeliranje širenja topline.
  12. Separacija varijabli i stacionarno rješenje modela difuzije.
  13. Samoslična rješenja. Fundamentalno rješenje i princip superpozicije.
  14. Jednadžbe reakcije i difuzije.
  15. Završni ispit

Studijski programi

Sveučilišni preddiplomski
Izborni predmeti (5. semestar)
Izborni predmeti (5. semestar)

Literatura

David J. Wollkind, Bonni J. Dichone (2018.), Comprehensive Applied Mathematical Modeling in the Natural and Engineering Sciences, Springer
David F. Parker (2012.), Fields, Flows and Waves, Springer Science & Business Media

Za studente

Izvedba

ID 227564
  Zimski semestar
5 ECTS
R0 Engleski jezik
R1 E-učenje
45 Predavanja
0 Seminar
0 Auditorne vježbe
0 Laboratorijske vježbe
0 Konstrukcijske vježbe

Ocjenjivanje

85 izvrstan
75 vrlo dobar
60 dobar
50 dovoljan