Diferencijalne jednadžbe i teorija stabilnosti

Opis predmeta

Linearni sustavi diferencijalnih jednadžbi. Ravnotežne točke. Klasifikacija faznih portreta. Pojam stabilnosti. Nelinearni sustavi. Periodička rješenja, granični ciklusi. Metoda potencijala. Ljapunovljevi teoremi stabilnosti i nestabilnosti. Robustnost sustava. Bifurkacije. Tipovi i klasifikacija parcijalnih diferencijalnih jednadžbi drugog reda. Jednadžba provođenja topline. Valna jednadžba. Laplaceova jednadžba.

Opće kompetencije

Predmet uvodi studente u teoriju koja se bavi proučavanjem kvalitativnih svojstava rješenja diferencijalnih jednadžbi. Posebno daje matematičku podlogu za proučavanje nelinearnih sustava upravljanja. Studenti se upoznaju s osnovnim tipovima parcijalnih diferencijalnih jednadžbi drugog reda.

Ishodi učenja

  1. Definirati osnovne pojmove iz kvalitativne teorije običnih difernencijalnih jednadžbi i osnovne pojmove vezane uz parcijalne diferencijalne jedndžbe drugog reda.
  2. Povezati znanje stečeno u linearnoj algebri s ponašanjem linearnih i nelinearnih sustava.
  3. Usporediti znanje iz drugih kolegija s matematičkim znanjem o diferencijalnim jednadžbama.
  4. Procijeniti razlike između egzaktnog, numeričkog i kvalitativnog pristupa rješavanju diferencijalnih jedndžbi.
  5. Analizirati problem, u stanju je modificirati metode i primijeniti ih
  6. Procijeniti da li je njegovo rješenje u skladu s teorijom

Oblici nastave

Predavanja

Predavanja.

Provjere znanja

Međuispi, ispit, seminar

Konzultacije

Konzultacije.

Seminari

Seminar.

Način ocjenjivanja

Kontinuirana nastava Ispitni rok
Vrsta provjere Prag Udio u ocjeni Prag Udio u ocjeni
Domaće zadaće 0 % 10 % 0 % 0 %
Sudjelovanje u nastavi 0 % 4 % 0 % 0 %
Seminar/Projekt 0 % 6 % 0 % 0 %
Međuispit: Pismeni 0 % 35 % 0 %
Završni ispit: Pismeni 0 % 45 %
Ispit: Pismeni 0 % 100 %

Tjedni plan nastave

  1. Svojstvene vrijednosti i Jordanova forma matrice. Linearni sustavi diferencijalnih jednadžbi u ravnini.
  2. Klasifikacija faznih portreta linearnih sustava oko ravnotežnih točaka. Pojam stabilnosti i asimptotske stabilnosti.
  3. Pojam zatvorene trajektorije i graničnog ciklusa. Linearizacija, teorem Hartmana i Grobmana.
  4. Teorija stabilnosti. Invarijantne mnogostrukosti.
  5. Bendixsonov teorem i Duffingova jednadžba. Poincareova teorija indeksa.
  6. Disipativni i konzervativni sustavi, metoda potencijala. Liouvilleov teorem.
  7. Ljapunovljevi teoremi stabilnosti i nestabilnosti. Poincare Bendixson teorem.
  8. Međuispit
  9. Metoda napuhavanja ravnotežne točke. Robustnost sustava. Normalna forma.
  10. Pojam bifurkacije. Hopf-Takensova bifurkacija. Neki primjeri višedimenzionalnih sustava.
  11. Tipovi jednadžbi s parcijalnim derivacijama. Klasifikacija jednadžbi drugog reda. Svođenje jednadžbi na kanonski oblik. Jednadžba provođenja topline. Nestacionarno provođenje topline. Fourierova metoda.
  12. Metoda rastavljanja po vlastitim funkcijama. Rješavanje paraboličkih jednadžbi Laplaceovom transformacijom.
  13. Valna jednadžba. Male oscilacije žice. D´Alambertova formula. Forierova metoda za valnu jednadžbu.
  14. Laplaceov operaor u pravokutnim, cilindričnim i sfernim koordinatama. Laplaceova jednadžba. Rubni problem za Laplaceovu jednadžbu. Dirichletov problem za krug i prsten.
  15. Završni ispit

Studijski programi

Sveučilišni diplomski
Automatika (profil)
Predmeti matematike, fizike i prirodoslovlja (2. semestar)
Bežične komunikacijske tehnologije (profil)
Predmeti matematike, fizike i prirodoslovlja (2. semestar)
Elektroenergetika (profil)
Predmeti matematike, fizike i prirodoslovlja (2. semestar)
Elektroničko i računalno inženjerstvo (profil)
Predmeti matematike, fizike i prirodoslovlja (2. semestar)
Elektronika (profil)
Predmeti matematike, fizike i prirodoslovlja (2. semestar)
Elektrotehnički sustavi i tehnologija (profil)
Predmeti matematike, fizike i prirodoslovlja (2. semestar)
Obradba informacija (profil)
Predmeti matematike, fizike i prirodoslovlja (2. semestar)
Programsko inženjerstvo i informacijski sustavi (profil)
Predmeti matematike, fizike i prirodoslovlja (2. semestar)
Računalno inženjerstvo (profil)
Predmeti matematike, fizike i prirodoslovlja (2. semestar)
Računarska znanost (profil)
Predmeti matematike, fizike i prirodoslovlja (2. semestar)
Telekomunikacije i informatika (profil)
Predmeti matematike, fizike i prirodoslovlja (2. semestar)

Literatura

Lawrence Perko (2001.), Differential Equations and Dynamical Systems, Springer
Steven H. Strogatz (2000.), Nonlinear Dynamics and Chaos, With Applications to Physics, Biology, Chemistry, and Engineering, Perseus Books Publishihg
Stanley J. Farlow (1982.), Partial Differential Equations for Scientists and Engineers Stanley J. Farlow John Wiley & Sons 1982, Stanley J. Farlow John Wiley & Sons
Luka Korkut, Vesna Županović (2009.), Diferencijalne jednadžbe i teorija stabilnosti, Element
R. Kent Nagle, Edward B. Saff (1996.), Fundamentals of Differential Equations and Boundary Value Problems, Addison-Wesley Publishing Company

Izvedba

ID 34555
  Ljetni semestar
4 ECTS
R0 Engleski jezik
R1 E-učenje
45 Predavanja
0 Auditorne vježbe
0 Laboratorijske vježbe
0 Konstrukcijske vježbe

Ocjenjivanje

80 izvrstan
70 vrlo dobar
60 dobar
50 dovoljan