Uvod u matematičku teoriju kaosa za inženjere

Opis predmeta

Osnove stabilnosti i bifurkacije. Feigenbaumov dijagram. Princip univerzalnosti, Schwarzian derivacija. Periodičke točke, Sarkovski teorem. Senzitivnost, Ljapunovljev eksponent. Fraktali i fraktalne dimenzije. Periodičke točke. Period 3 implicira kaos. Kaotični jednogrbasti iteratori. Kaotični iteratori na metričkim prostorima. L- sistemi. Konvekcija fluida, Lorenzov model. Kontrola kaosa.

Opće kompetencije

Opće znanje iz povijesti Matematičke teorije kaosa. Računanje osnovnih elemenata Matematičke teorije kaosa: fiksne točke, stabilnost, periodičke točke, bifurkacija, senzitivna ovisnost o početnim uvjetima. Osnovno znanje iz fraktalne geometrije: matematičko generiranje fraktala, svojstvo samo sebi sličnosti, fraktalne dimenzije. Osnovni kriteriji za utrvđivanje kaotičnosti neprekidnih iteratora.

Ishodi učenja

  1. opisati bitne osobine koje karakteriziraju kaotične iteratore
  2. razlikovati linearne, nelinearne, nekaotične i kaotične iteracijske procese
  3. primijeniti metodu Ljapunovljevog koeficijenta za procjenu senzitivnosti procesa
  4. objasniti važnost fraktalnih skupova i geometrije u opisivanju kaotičnih iteratora
  5. baratati sa računskim osnovama teorije stabilnosti: stabilne fiksne točke
  6. baratati sa računskim osnovama teorije bifukacija i kaosa: periodi 2 i 3
  7. analizirati sva četiri stanja na putu u kaos za neprekidni iterator
  8. kreirati vlastiti kaotični strujni krug od osnovnih strujnih elemenata kupljenih u Chipoteki

Oblici nastave

Predavanja

Na temeljima znanja iz matematičkih predmeta prve godine studija se usvajaju nova matematičko-teorijska znanja za kaotične iteratore; simulacija na računalu fraktalnih oblika; osnovna teorijska znanja iz fraktalne geometrije; računanje kaotičnih svojstava; vizualizacija na računalu.

Provjere znanja

Usmena provjera: studenti se kontinuirano provjeravaju tijekom predavanja, rješavajući probleme zadane za zadaću; postoji i završni usmeni ispit za one studente koji žele veću ocjenu. Pismena provjera: kontrolni i završni ispit; pismeni seminarski radovi.

Konzultacije

Po dogovoru.

Seminari

Seminarski rad nije obavezan ali je potreban za dobivanje bolje ocjene. U njemu student pokazuje: kreativnost, samostalnost i razinu usvojenog znanja.

Stjecanje vještina

Prepoznavanje složenih procesa u prirodi, mjerenje i računanje kaotičnih osobina, rad sa fraktalnim skupovima, uvođenje novih oblika razmišljanja.

Način ocjenjivanja

Kontinuirana nastava Ispitni rok
Vrsta provjere Prag Udio u ocjeni Napomena / komentar Udio u ocjeni
Sudjelovanje u nastavi 0 % 10 % 0 % 0 %
Seminar/Projekt 0 % 30 % 0 % 30 %
Međuispit: Pismeni 0 % 30 % 0 %
Završni ispit: Pismeni 0 % 30 %
Ispit: Pismeni 0 % 70 %

Tjedni plan nastave

  1. Čitanje prvog dijela Gleickove knjige iz Kaosa, uvod za kreativan nacina razmišljanja, demonstracija na računalu fizičke pojavnosti kaosa u prirodi: vodenično kolo, matematičko i magnetno klatno, titranje žica, Lorentzov sustav
  2. Neprekidni iteratori, fiksne tocke, stabilne fiksne tocke, iteratori kao preslikavanja sa [0,1] na [0,1], područje stabilnosti jednoparametarskih iteracija
  3. Fraktali koji se pojavljuju u teoriji kaosa: Feigenbaumov dijagram i Cantorova prasina
  4. nastavak čitanja Gleickove knjige; osnove jednogrbastih iteratora; osnove 'shift' iteratora
  5. Bifurkacija reda 2, kaskada bifurkacija, Feigenbaumov broj; prezentacija pravila za izradu seminarskog rada iz teorije kaosa
  6. Matematičko generiranje fraktala 'IFS' i matematika Julija skupova i Mandelbrotovog skupa
  7. Senzitivna ovisnost o početnim uvjetima po definiciji, senzitivna ovisnost o početnim uvjetima za 'jednogrbaste iteratore' preko Schwarziana
  8. Senzitivna ovisnost o početnim uvjetima preko Ljapunovljevog koeficijenta, univerzalnost prelaza u kaos, prostor 'Sigma 2', 'Sigma 2' kao metrički prostor, senzitivna ovisnost o početnim uvjetima od 'Shift' iteratora
  9. Matematička definicija kaosa: senzitivna ovisnost o početnim uvjetima, gustoća periodičkih točaka, tranzitivnost skupa periodičkih točaka
  10. Kompozicije višeg reda, periodičke točke, Sarkovski teorem, period 3 implicira kaos
  11. Računanje perioda 3 za neprekidne iteratore: kriteriji za egzistenciju i neegzisteciju perioda 3, metoda za efektivno dokazivanje perioda 3
  12. Kaotična svojstva 'jednogrbastih iteratora': teorija i primjeeri
  13. Kaos u računarstvu: kaotičnost 'shift iteratora'
  14. Prezentacija studentskih seminara iz Kaosa
  15. Prezentacija studentskih seminara iz Kaosa

Studijski programi

Automatika -> Elektrotehnika i informacijska tehnologija (Profil)

Elektrotehnički sustavi i tehnologija -> Elektrotehnika i informacijska tehnologija (Profil)

Elektroenergetika -> Elektrotehnika i informacijska tehnologija (Profil)

Elektroničko i računalno inženjerstvo -> Elektrotehnika i informacijska tehnologija (Profil)

Elektronika -> Elektrotehnika i informacijska tehnologija (Profil)

Obradba informacija -> Informacijska i komunikacijska tehnologija (Profil)

Telekomunikacije i informatika -> Informacijska i komunikacijska tehnologija (Profil)

Radiokomunikacijske tehnologije -> Informacijska i komunikacijska tehnologija (Profil)

Programsko inženjerstvo i informacijski sustavi -> Računarstvo (Profil)

Računalno inženjerstvo -> Računarstvo (Profil)

Računarska znanost -> Računarstvo (Profil)

Literatura

J. Banks, V. Dragan, A. Jones (2003.), Chaos. A mathematical introduction, Cambridge University Press
H.-O. Peitgen, H, Jurgens, D. Saupe (1992.), Chaos and Fractals. New Frontiers of Science, Springer
R. L. Devaney (1990.), Chaos, Fractals, and Dynamics, Addison-Wesley
T. Kapitaniak (2000.), Chaos for Engineers. Theory, Applications and Control, Springer
K. T. Alligood, T. D. Sauer, J. A. Yorke (1996.), Chaos. An introduction to dynamical systems, Springer, New York

Bodovi i izvedba

4 ECTS
R3 Engleski jezik
R1 E-učenje
45 Predavanja
0 Auditorne vježbe
0 Laboratorijske vježbe

Ocjenjivanje

85 izvrstan
75 vrlo dobar
60 dobar
45 dovoljan